Собираем модель двигателя

Два уравнения, общий набор параметров и проверка установившегося режима.

Объект и допущения

Наш учебный объект — двигатель постоянного тока с постоянным магнитным потоком и жёстким валом. Параметры выбраны для наглядного расчёта и не являются паспортом конкретного изделия. Мы не учитываем нагрев, насыщение, щёточное падение напряжения, пульсации ШИМ, сухое трение и упругость вала.

Такое упрощение полезно, если нужно понять общую связь электрической и механической динамики. Для расчёта реального устройства параметры придётся измерить или взять из документации, а состав модели проверить по эксперименту.

Система уравнений

Начальные условия для пуска: i(0) = 0 А и ω(0) = 0 рад/с. При продолжении уже рассчитанного процесса нужно переносить оба конечных значения, а не обнулять состояние на каждом переключении.

В матричной форме y′ = Ay + Bu + EML. Первая строка A равна [−R/L, −ke/L], вторая — [kt/J, −b/J]. Такая запись помогает исследовать собственные значения, но для первого расчёта достаточно явной функции правой части.

Сначала найдём равновесие

В установившемся режиме обе производные равны нулю. Решая два алгебраических уравнения, получаем:

Без внешней нагрузки скорость равна примерно 85,714 рад/с, ток — 1,714 А. Ток не равен нулю: двигатель компенсирует вязкое трение. При ML = 0,1 Н·м скорость снижается до 71,429 рад/с, а ток увеличивается до 2,429 А.

Пусковой ток сначала быстро растёт, затем снижается по мере разгона. Это объясняет, почему ток может иметь максимум, хотя напряжение после включения остаётся постоянным. Скорость в выбранном примере растёт монотонно, однако это не универсальное свойство всех параметров электромеханической модели.

Электрический и механический масштабы

Изолированная электрическая постоянная времени L/R равна 0,01 с. Изолированная механическая J/b равна 1 с. Но у связанного двигателя действуют собственные времена всей системы. Для выбранных параметров собственные значения близки к −97,407 и −3,593 с⁻¹: соответствующие времена около 0,0103 и 0,278 с.

Электромеханическая обратная связь ускоряет затухание по сравнению с механической системой, в которой момент задан независимо от скорости. Поэтому оценивать длительность пуска только через J/b неправильно.

Код правой части

def motor(t, y, voltage=12.0, load=0.0):
    i, w = y
    R, L, J, b, k = 2.0, 0.02, 0.002, 0.002, 0.1
    return [(voltage - R*i - k*w)/L,
            (k*i - b*w - load)/J]

Здесь u и ML постоянны. Для ступенчатых воздействий удобнее разделять расчёт на интервалы с постоянными входами. Такой подход явно задаёт момент переключения и сохраняет непрерывность состояния.

Практическая работа

Рассчитайте пуск на интервале 0–1,5 с. Сравните последние значения с аналитическим равновесием. Затем увеличьте J в три раза и удлините время наблюдения. Конечная скорость должна остаться прежней, но разгон замедлится. Если значение в конце короткого расчёта ниже равновесия, это ещё не означает, что равновесие изменилось.

Пространство состояний и точное решение

Выберем x = [i, ω]ᵀ. Для постоянных параметров система линейна и стационарна. Внешние воздействия — напряжение и знаковый момент нагрузки:

Точка с запятой разделяет строки матрицы. Для постоянных входов и невырожденной A равновесие x_∞ = −A⁻¹(BU + EM_L). Отклонение δx = x − x_∞ удовлетворяет однородной системе δx′ = Aδx, поэтому x(t) = x_∞ + e^At(x₀ − x_∞). Матричная экспонента даёт эталон для проверки численного решения на каждом интервале постоянных воздействий.

Передаточные функции по напряжению и нагрузке

При нулевых начальных условиях преобразуем оба уравнения: (Ls + R)I = U − k_eΩ и (Js + b)Ω = k_tI − M_L. Исключение I приводит к общему знаменателю:

Проверка при s = 0 воспроизводит статические формулы. Знак канала нагрузки отрицательный для скорости и положительный для тока. У разных выходов одинаковые полюса, но разные числители, поэтому формы переходных процессов отличаются.

Дополнительное чтение: University of Michigan CTMS: модель двигателя постоянного тока. Обозначения в источнике могут отличаться от принятых в уроке.

Полюса, затухание и собственные времена

После деления D(s) на LJ характеристический полином имеет вид s² + (R/L + b/J)s + (Rb + k_tk_e)/(LJ). Отсюда:

Для базовых параметров полином равен s² + 101s + 350. Корни −97,407 и −3,593 с⁻¹; ω_n = 18,708 рад/с, ζ ≈ 2,699. Свободное движение — сумма двух затухающих экспонент. Доминирующий медленный полюс задаёт основную длительность перехода, однако амплитуды мод зависят от входа, выхода и начальных условий.

Когда допустимо пренебречь индуктивностью

После короткого электрического перехода можно приближённо положить L di/dt ≈ 0, если электрическая динамика существенно быстрее механической и вход не содержит быстрых изменений. Тогда:

Полная модель даёт медленное время 0,2783 с: близость подтверждает полезность приближения для скорости. Но при пуске упрощённая модель сразу выдаёт ток U/R, теряя закон коммутации и быстрый участок. Для пиков тока, переключений и настройки быстрого контура такое упрощение нужно проверять отдельно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите матрицу A и её след и определитель для базового двигателя.

2. Увеличьте J вдвое при прочих прежних параметрах. Получите характеристический полином и оцените медленное время.

Для отчёта: сравните полный и упрощённый пуск по скорости и току, отдельно на интервалах 0–0,05 с и 0–2 с.

Что запомнить

Сначала определите допущения, параметры и равновесие, затем стройте переход. Одна согласованная модель лучше набора несвязанных графиков. Длительность наблюдения должна соответствовать самому медленному процессу.